动力系统
动力系统（dynamical system）是数学上的一个概念。动力系统是一种固定的规则，它描述一个给定空间（如某个物理系统的状态空间）中所有点随时间的变化情况。例如描述钟摆晃动、管道中水的流动，或者湖中每年春季鱼类的数量，凡此等等的数学模型都是动力系统。
在动力系统中有所谓状态的概念，状态是一组可以被确定下来的实数。这组实数也是一种流形的几何空间坐标。动力系统的演化规则是一组函数的固定规律，它描述未来状态如何依赖于当前状态的。这种规则是确定性的，即对于给定的时间间隔內，从现在的状态只能演化出一个未来的状态。
若只是在一系列不连续的时间点考察系统的状态，则这个动力系统为离散动力系统；若时间连续，就得到一个连续动力系统。如果系统以一种连续可微的方式依赖于时间，我们就称它为一个光滑动力系统。
歷史
許多人視法國數學家及物理學家龐加萊為動態系統的創始者[1]。他發行了兩份現在被譽為經典的專著：天體力學的新方法《天體力學的新方法》（New Methods of Celestial Mechanics，1892–1899）、《天體力學講義》（Lectures on Celestial Mechanics，1905–1910）。專著中，他成功將研究結果應用在三體問題，並詳細研究其狀態（頻率，穩定性等）。作品中也包含龐加萊復現定理（Poincaré recurrence theorem），該定理指出某些系統在經過足夠長但有限的時間之後，將返回到非常接近初始狀態的狀態。
俄羅斯數學家李亞普諾夫發展許多重要的近似方法。他在1899年發展出的方法，使得定義常微分方程組的穩定性是可行的。 他也創造了動態系統穩定性的現代理論。
美國數學家伯克霍夫在1913年證明了龐加萊的最終幾何定理（Last Geometric Theorem），一個三體問題的特殊形況。在1927年，他則發行了《動態系統》（Dynamical Systems）。在1931年，伯克霍夫發現了最使他名留青史的結果，現在稱作遍歷定理。
美國數學家斯梅爾也對動態系統作出重大貢獻。他的貢獻馬蹄映射推動了動態系統重要研究，此外他還勾劃出研究計劃，讓很多研究者實行。
烏克蘭數學家亚历山大·沙可夫斯基在1964年給出關於離散動力系統的沙可夫斯基定理，此定理的一個含義是，如果實數軸上的離散動態系統具有週期為3的週期點，那麼它必定具有任意週期的週期點。
註釋
- ^ Holmes, Philip. "Poincaré, celestial mechanics, dynamical-systems theory and "chaos"." Physics Reports 193.3 (1990): 137-163.
参考书籍
- Geometrical theory of dynamical systems Nils Berglund's lecture notes for a course at ETH at the advanced undergraduate level.
- Dynamical systems（页面存档备份，存于互联网档案馆）. George D. Birkhoff's 1927 book already takes a modern approach to dynamical systems.
- Chaos: classical and quantum. An introduction to dynamical systems from the periodic orbit point of view.
- Introduction to Social Macrodynamics （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Mathematical models of the World System development
- Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos 微分方程、动力系统与混沌导论
延伸閱讀
Works providing a broad coverage:
- Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden. Foundations of mechanics. Benjamin–Cummings. 1978. ISBN 0-8053-0102-X. (available as a reprint: ISBN 0-201-40840-6)
- Encyclopaedia of Mathematical Sciences (ISSN 0938-0396) has a sub-series on dynamical systems with reviews of current research.
- Christian Bonatti; Lorenzo J. Díaz; Marcelo Viana. Dynamics Beyond Uniform Hyperbolicity: A Global Geometric and Probabilistic Perspective. Springer. 2005. ISBN 3-540-22066-6.
- Stephen Smale. Differentiable dynamical systems. Bulletin of the American Mathematical Society. 1967, 73 (6): 747–817. doi:10.1090/S0002-9904-1967-11798-1.
Introductory texts with a unique perspective:
- V. I. Arnold. Mathematical methods of classical mechanics. Springer-Verlag. 1982. ISBN 0-387-96890-3.
- Jacob Palis and Welington de Melo. Geometric theory of dynamical systems: an introduction. Springer-Verlag. 1982. ISBN 0-387-90668-1.
- David Ruelle. Elements of Differentiable Dynamics and Bifurcation Theory. Academic Press. 1989. ISBN 0-12-601710-7.
- Tim Bedford, Michael Keane and Caroline Series, eds.. Ergodic theory, symbolic dynamics and hyperbolic spaces. Oxford University Press. 1991. ISBN 0-19-853390-X.
- Ralph H. Abraham and Christopher D. Shaw. Dynamics—the geometry of behavior, 2nd edition. Addison-Wesley. 1992. ISBN 0-201-56716-4.
Textbooks
- Kathleen T. Alligood, Tim D. Sauer and James A. Yorke. Chaos. An introduction to dynamical systems. Springer Verlag. 2000. ISBN 0-387-94677-2.
- Oded Galor. Discrete Dynamical Systems. Springer. 2011. ISBN 978-3-642-07185-0.
- Morris W. Hirsch, Stephen Smale and Robert L. Devaney. Differential Equations, dynamical systems, and an introduction to chaos. Academic Press. 2003. ISBN 0-12-349703-5.
- Anatole Katok; Boris Hasselblatt. Introduction to the modern theory of dynamical systems. Cambridge. 1996. ISBN 0-521-57557-5.
- Stephen Lynch. Dynamical Systems with Applications using Maple 2nd Ed.. Springer. 2010. ISBN 0-8176-4389-3.
- Stephen Lynch. Dynamical Systems with Applications using Mathematica. Springer. 2007. ISBN 0-8176-4482-2.
- Stephen Lynch. Dynamical Systems with Applications using MATLAB 2nd Edition. Springer International Publishing. 2014. ISBN 3319068199.
- James Meiss. Differential Dynamical Systems. SIAM. 2007. ISBN 0-89871-635-7.
- David D. Nolte. Introduction to Modern Dynamics: Chaos, Networks, Space and Time. Oxford University Press. 2015. ISBN 978-0199657032.
- Julien Clinton Sprott. Chaos and time-series analysis. Oxford University Press. 2003. ISBN 0-19-850839-5.
- Steven H. Strogatz. Nonlinear dynamics and chaos: with applications to physics, biology chemistry and engineering. Addison Wesley. 1994. ISBN 0-201-54344-3.
- Teschl, Gerald. Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society. 2012 [2017-08-24]. ISBN 978-0-8218-8328-0. （原始内容存档于2012-06-26）.
- Stephen Wiggins. Introduction to Applied Dynamical Systems and Chaos. Springer. 2003. ISBN 0-387-00177-8.
Popularizations:
- Florin Diacu and Philip Holmes. Celestial Encounters. Princeton. 1996. ISBN 0-691-02743-9.
- James Gleick. Chaos: Making a New Science. Penguin. 1988. ISBN 0-14-009250-1.
- Ivar Ekeland. Mathematics and the Unexpected (Paperback). University Of Chicago Press. 1990. ISBN 0-226-19990-8.
- Ian Stewart. Does God Play Dice? The New Mathematics of Chaos. Penguin. 1997. ISBN 0-14-025602-4.
参见
- 混沌理论
- 洛伦兹系统
- 複變動態系統
- 動態系統介紹 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
- Dynamical systems at SUNY：紐約州立大學石溪校區研究小組的網站，有會議、研究者和未解決問題等資料（英）
- Oliver Knill（页面存档备份，存于互联网档案馆）：以JavaScript說明一些動態系統的例子（英）
- Arxiv preprint server（页面存档备份，存于互联网档案馆）：關於此範疇每日的新論文（英）
- Chaos @ UMD（页面存档备份，存于互联网档案馆）：主攻應用層面（英）
- 動態系統的穩定性分析[永久失效連結]
