大星形十二面體
大星形十二面體
(按這裡觀看旋轉模型)
類別星形正多面體
對偶多面體大二十面體
識別
名稱大星形十二面體
參考索引U52, C68, W22
數學表示法
考克斯特符號
英语Coxeter-Dynkin diagram
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.png
施萊夫利符號{5/2,3}
威佐夫符號
英语Wythoff symbol
3 | 2 5/2
性質
12
30
頂點20
歐拉特徵數F=12, E=30, V=20 (χ=2)
虧格0
組成與佈局
面的種類12個五角星
面的佈局
英语Face configuration
12{5/2}
頂點圖(5/2)3
對稱性
對稱群Ih, H3, [5,3], (*532)
特性
正、非凸
圖像
立體圖 Great stellated dodecahedron vertfig.png
(5/2)3
頂點圖
Great icosahedron.png
大二十面體
(對偶多面體)

幾何學上,大星形十二面體是一個由五角星組成的非凸正多面體[1],是正十二面體的星形多面體,其在非凸均勻多面體被編號為U52、在溫尼爾多面體模型被編號為W22。该多面體最早是由温佐·雅姆尼策尔英语Wenzel Jamnitzer於1568年發現並描述[2][3][4]。後來在1619年時,被約翰尼斯·克卜勒重新發現[5][6][7]

大星形十二面體的對偶多面體也是一種星形正多面體,同時也是星形二十面體,其為由正三角形構成的大二十面體

性質

大星形十二面體共有12個面、30條邊和20個頂點[8],其每個面都是全等的正五角星[9]、每個頂點都是3個五角星的公共頂點,在頂點圖為三角形,可以用(5/2)3來表示[10]施萊夫利符號中利用 {5/2,3} 來表示,考克斯特符號英语Coxeter-Dynkin digram中利用CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.png來表示。

二面角

大星形十二面體是一種星形正多面體,因此具有所有角相等的性質。其二面角只有一个值,其值為五平方根倒數反餘弦[11]

頂點坐標

邊長為單位長且幾何中心位於原點的大星形十二面體,其頂點坐標為[12]

作為一個簡單多面體

簡單多面體是指這個多面體中的面不會與同一個多面體的另一個面相交的多面體。若大星形十二面體要成為一個簡單多面體,則需要在這多面體中相交的面上放置新的頂點和邊,並將原本的五角星面分割成5個三角形面。這樣的多面體共有60個面、90條邊和32個頂點[13]

相關多面體

名稱 大星形十二面體 截角大星形十二面體 大截半二十面体 截角大二十面體 大二十面體
考式英语Coxeter-Dynkin digram CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png
圖像 Great stellated dodecahedron.png Icosahedron.png Great icosidodecahedron.png Great truncated icosahedron.png Great icosahedron.png

對偶複合體

大二十面體與其對偶的複合體為複合大二十面體大星形十二面體。其共有32個面、60條邊和32個頂點,其尤拉示性數為4,虧格為-1,有12個非凸面[14],是一種截半二十面體的星形多面體[15][16]。溫尼爾在他的書中列出將這種形狀編為W61[17][18]

Compound of great icosahedron and stellated dodecahedron.png Second compound stellation of icosidecahedron facets.png
從三角形的星狀圖
Second compound stellation of icosidecahedron pentfacets.png
從五邊形的星狀圖

參見