數學模型是使用數學來將一個系統簡化後予以描述。數學模型廣泛應用在自然科學(如物理學、化學、生物學、宇宙學)、工程学科(如计算机科学,人工智能)、以及社會科學(如經濟學、心理學、社會學和政治科學)上。科學家和工程師用模型來解释一个系统,研究不同组成部分的影响,以及对行为做出预测。常見的模型包括動態系統、概率模型、微分方程或賽局模型等等。描述不同對象的模型可能有相同的形式,同一個模型也可能包含了不同的抽象結構。
数学模型通常由关系与变量组成。关系可用算符描述,例如代数算符、函数、微分算符等。变量是关注的可量化的系统参数的抽象形式。算符可以与变量相结合发挥作用,也可以不与变量结合。[1] 通常情况下,数学模型可被分为以下几类:
首先必須明白問題的本質,才能將之轉換成操作定義和數學符號。根據已知資訊的多寡,模型可以分為三類:
模型描述的是理想化的情境,如 George E. P. Box 所言:「所有的模型都是錯的,但有些很有用」。判斷哪些核心部件必須保留、哪些可以簡化是建模的重要步驟。如果所有的細節都包含在內,模型和真實世界是一樣的,則沒有使用模型的意義。
物理中常用的若干简化模型包括无质量的绳子、点粒子、理想氣體以及無限深方形阱[8]。用简单方程表示的物理定律有牛顿定律、馬克士威方程組和薛定谔方程等[9]。这些定律都是建立在实际情况的数学模型基础上的。许多实际情况是非常复杂的,因此要用电脑进行模拟,计算可行的模型是建立在基本定律或基本定律的近似模型上的。例如,分子可以用薛定谔方程的近似解分子轨道模型进行模拟。在工程中,物理模型通常运用的数学方法如有限元分析[10]。不同数学模型使用不同的几何学,但所使用的不一定是描述宇宙最准确的几何学。欧几里得几何多用在经典物理学中,而狭义相对论和廣義相對論都是不使用欧几里得几何的理论[11]。
在數理生物學中,哈溫定律描述一個無限大的族群、裡面隨機交配、沒有天擇或突變。族群遺傳學模型常假設固定的族群大小。計量遺傳學模型則假設連續性狀。
決定实际问题中的各种因素,轉換為变量表示。接著應分析这些变量之间的关系,哪些是相互依存的,哪些是独立的,他们具有什么样的关系,用合理的數學式表示這些關係。根据实际问题选用合适的数学框架(典型的有优化问题,配置问题等等),并具体的应用问题在这个数学框架下表出,並用合适的算法求解数学框架下表出的问题。在這個過程中可能用到计算机模拟和编程,常用的数学工具软件包括MATLAB和Mathematica。
最後使用计算结果解释实际问题,并且分析结果的可靠性。這時常需用到各種信息可視化的技巧。
数学模型廣泛應用在各領域科学中,包括經濟學模型、族群生物學、計量生物學、流行病學、複雜系統、工程學等,物理理論几乎无一例外會利用数学模型表示[12]。
纵观科學史,能夠量化和建立数学模型往往是一門學科發展成熟的指標,學科的進步常常源自新證據讓科學家可以建立更精確、更通用的模型。在生物學,現代生物綜論提出的各種數學模型讓演化生物學成為一門可以量化的學科。在物理學,牛顿运动定律准确地描述了许多日常现象,但在接近光速或是微觀層級時,这些定律就不适用,而需要用相对论或量子力学[13][14]。
MCM/ICM是Mathematical Contest in Modeling和Interdisciplinary Contest in Modeling的缩写,即“数学建模竞赛”和“交叉学科建模竞赛”。MCM始于1985年,ICM始于2000年,由COMAP(the Consortium for Mathematics and Its Application,美国数学及其应用联合会)主办,得到了SIAM,NSA,INFORMS等多个组织的赞助。MCM/ICM与其他著名数学竞赛(如Putnam数学竞赛)的区别在于其着重强调研究问题、解决方案的原创性、团队合作、交流以及结果的合理性。竞赛以三人(本科生)为一组,在四天时间内,就指定的问题完成从建立模型、求解、验证到论文撰写的全部工作。竞赛每年都吸引大量著名高校参赛。2008年MCM/ICM有超过2000个队伍参加,遍及五大洲。MCM/ICM已经成为最著名的国际大学生竞赛之一。
全国大学生数学建模竞赛创办于1992年,每年一届,是首批列入“高校学科竞赛排行榜”的19项竞赛之一。2020年,来自全国及美国、英国、马来西亚的1470所院校/校区、45680队(本科41826队、专科3854队)、13万多人报名参赛[16]。