蝴蝶效應(英語:Butterfly effect)是指在一個動態系統中,初始條件的微小變化,將能帶動整個系統長期且巨大的連鎖反應,是一種混沌的現象。“蝴蝶效應”在混沌學中也常出現。

二維相空間中的点吸引子

由來

1961年冬天,美國氣象學家愛德華·羅倫茲在使用電腦程式計算他所設計來模擬大氣中空氣流動的數學模型,在進行第二次計算時,想要省事,直接從程式的中段開始執行,並輸入前一次模擬結果列印出來的數據,計算出來的結果卻與第一次完全不同。經檢查後發現原因是出在列印的數據是0.506,精準度只有小數後3位,但該數據正確的值為0.506127,到小數後6位。

1963年,羅倫茲發表論文「決定性的非周期流」(Deterministic Nonperiodic Flow),分析了這個效應。這篇論文後來被廣泛引用。[1][2]他也在另一篇期刊文章寫道,「一個氣象學家提及,如果這個理論被證明正確,一隻海鷗扇動翅膀能夠永遠改變天氣變化。」[3]在以後的演講和論文中他用了更加有詩意的蝴蝶。對於這個效應最常見的闡述是「一隻蝴蝶在巴西輕拍翅膀,可以導致一個月後德克薩斯州的一場龍捲風。」

在1993 年出版的《混沌的本質》一書中[4],勞倫茲將蝴蝶效應定義為:「動力系統狀態的微小變化,將導致後續的狀態,與原本可能演變的狀態有很大的不同。」此一描述和「對初始條件的敏感依存」相同[1]。在同一本書中,勞倫茲應用了滑雪活動,來揭示「隨時間變化的滑雪路徑對初始位置的敏感性」。而所謂的預報度,可藉由系統中的連續依存和敏感依存之間,來加以決定。[5]簡單地說,當兩個初始相鄰的路徑出現明顯分歧之前,我們可以決定有限的預報度。

含義

「蝴蝶效應」是連鎖效應的其中一種,其意思即一件表面上看來毫無關係、非常微小的事情,可能帶來巨大的改變。此效應說明事物發展的結果,對初始條件具有極為敏感的依賴性,初始條件的改變,將會有引起結果的極大差異。

蝴蝶效應一詞的出處,現有的文獻已有很多的討論。而其函義也有所不同。單就勞倫茲的研究文章和報告中的討論(如[1][4][6][7]),基本可以有以下三種不同類型[8][9]。第一類型的蝴蝶效應是指:系統中解的演變,對初始條件有敏感的依存[1]。第二類型的蝴蝶效應是指:微小擾動能在遠距離產生有組織的環流[6]。第三類型的蝴蝶效應是指:小尺度的加入,透過非線性交互作用,能導致有限的預報度[10]

图示

洛伦茨吸引子中的蝴蝶效应
时间0 ≤ t ≤ 30(放大) z坐标(放大)
   
这三幅图展示出洛伦茨吸引子中的两条轨迹(蓝色、黄色各一)的三维演变的三个时段, 这两条轨迹的初始点只在x坐标上相差10-5。正如蓝色和黄色轨迹的z坐标间的微小差所表明的,开始时,两条轨迹似乎是重合的,但是当t > 23时,两者的坐标差就像轨迹的取值差异一样大,小锥形体的最终位置表明两条轨迹在t =30时不再重合。
洛伦茨吸引子的Java动画展示了振子状态连续不断的演变 Portuguese Web Archive的存檔,存档日期2008-03-11

数学定义

t 增加时,任意接近的点分离,则具有向量场(演变映射) 動態系统表现出初始条件的敏感依赖性。若M是映射 的状态空间,那么当满足以下条件时, 会表现出初始条件的敏感依赖性:

  • 存在δ>0,使得每一个点都满足x∈M;
  • 任意包含x邻域N,都存在来自这一邻域N的一点y
  • 存在时间τ,使得距离  

定义不要求来自一个邻域的全部点都与基点x分离。

參見